Versicherungsmathematik in der Krankenversicherung – von Daten zum Beitrag

Wie entsteht aus nüchternen Statistiken ein konkreter Versicherungsbeitrag? Dieser Beitrag zeichnet den Weg von Daten zum Beitrag am Beispiel eines Pflegetagegeldes der privaten Krankenversicherung (PKV) nach. Er verbindet die aktuarielle Modellwelt mit der Unternehmensrealität und zeigt, warum jeder Beitrag das Ergebnis sorgfältig geprüfter Annahmen über Pflegehäufigkeit, Sterblichkeit, Storno, Kosten und Zins ist.

Grundlage ist ein Vortrag von Anne Junglas (Deutsche Familienversicherung AG) und Sebastian Becker (Hyrance AG). Die fünf Kapitel führen von der statistisch beobachteten Pflegehäufigkeit über Leistungsbarwert, Netto- und Bruttoprämie bis zur Alterungsrückstellung und Beitragsanpassung.

Am Anfang jeder Kalkulation stehen Daten. Betrachtet werden Daten aus der privaten Krankenversicherung, die die statistisch beobachteten Pflegetage je Alter und Jahr abbilden. Sie zeigen, wie viele Tage Personen eines bestimmten Alters durchschnittlich gepflegt wurden – getrennt nach Pflegegrad sowie nach ambulanter und stationärer Pflege.

Die Daten stammen aus der Gesamtheit der privaten Krankenversicherungsunternehmen in Deutschland. Alle Versicherer melden jährlich, wie viele Pflegetage in den verschiedenen Altersstufen beobachtet wurden. Diese Werte werden ins Verhältnis zum jeweiligen Bestand der Versicherten je Alter gesetzt. Das Ergebnis sind durchschnittliche Pflegetage pro Alter und Jahr, ausgedrückt in der Einheit Tage.

In der Praxis treten dabei statistische Unschärfen auf – etwa in Altersbereichen mit sehr kleinem Versichertenbestand, wo wenige Pflegefälle die Statistik stark beeinflussen können. Eine wichtige strukturelle Änderung erfolgte 2017 mit dem Pflegestärkungsgesetz II (PSG II): Die frühere Einteilung in drei Pflegestufen wurde durch fünf Pflegegrade ersetzt, die kognitive Einschränkungen ausdrücklich berücksichtigen. In den Zeitreihen zeigt sich dieser Übergang als deutlicher Sprung – ein Effekt, der bei der Interpretation von echten Trends zu trennen ist.

Um Veränderungen im Pflegebedarf sichtbar zu machen, ohne dass Alterseffekte die Ergebnisse verzerren, betrachtet man ein fixes Ausgangsalter (etwa 25 Jahre) und summiert die mit Überlebenswahrscheinlichkeiten gewichteten Pflegetage über die Lebenszeit. So werden die erwarteten Pflegetage über die Lebenszeit zwischen den Jahren vergleichbar. Deutlich sichtbar ist über alle Auswertungen hinweg: Die Zahl der Pflegetage steigt mit zunehmendem Alter stark an. Das ist die Grundlage – aber wie wird daraus ein Versicherungsprodukt?

Die gesetzliche Pflegeversicherung (SGB XI) deckt häufig nur Teile der realen Pflegekosten – insbesondere bei stationärer Pflege bleiben große Finanzierungslücken. Heimplatzkosten führen laut aktuellen Daten zu Eigenanteilen von über 3.000 € monatlich im ersten Jahr.

Das Ziel des Produkts ist es, aus den Pflegedaten eine Leistungskomponente (Tages- bzw. Monatsgeld) abzuleiten, die eine versicherte Person im Pflegefall absichert. Sobald eine Person in einen Pflegegrad eingestuft wird, zahlt die Versicherung ein vertraglich festgelegtes Pflegemonatsgeld – frei verwendbar für Pflegekosten oder den Lebensunterhalt, unabhängig von den tatsächlich anfallenden Kosten.

Für ein festes Ausgangsalter wird der erwartete Pflegeaufwand mit unterschiedlichen Monatsgeldern je Pflegegrad gewichtet. Unter Berücksichtigung von Sterbe- und Stornowahrscheinlichkeiten ergibt sich daraus der gemilderte erwartete Kopfschaden \(K_x\) für jedes Alter \(x\). Dieser erwartete Schaden wird anschließend mit dem Rechnungszins diskontiert. Die Summe des diskontierten erwarteten Kopfschadens über die gesamte Vertragslaufzeit ist der Leistungsbarwert \(A_x\).

Dem Leistungsbarwert steht der Prämienbarwert gegenüber – die Gesamtsumme der erwarteten Prämienzahlungen. Die Prämie soll über die gesamte Laufzeit konstant bleiben. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass Leistungsbarwert und Prämienbarwert übereinstimmen müssen. Der Prämienbarwert ergibt sich aus einer konstanten Nettoprämie über die erwartete, diskontierte Laufzeit – den Rentenbarwert \(\ddot{a}_x\).

Mit Eintrittsalter \(x\), Höchstalter \(\omega\), Laufzeitindex \(j\), Ausscheideordnung \(r_x\) und Diskontierungsfaktor \(v\) gilt für die Verbleibewahrscheinlichkeit, den Renten- und den Leistungsbarwert:

$$ {}_{j}p_x = \prod_{k=0}^{j-1}\bigl(1 - r_{x+k}\bigr) $$

$$ \ddot{a}_x = \sum_{j=0}^{\omega-x} v^{\,j}\cdot {}_{j}p_x \qquad A_x = \sum_{j=0}^{\omega-x} v^{\,j}\cdot K_{x+j}\cdot {}_{j}p_x $$

Daraus ergibt sich die jährliche Nettoprämie als Quotient von Leistungsbarwert und Rentenbarwert:

$$ P_x = \frac{A_x}{\ddot{a}_x} $$

Die Nettoprämie deckt ausschließlich die Leistungen. Um auch laufende Verwaltungs- und Abschlusskosten zu finanzieren, kommen Kostenaufschläge hinzu, dazu ein Sicherheitszuschlag für kurzfristige Schwankungen. Die so erweiterte Prämie heißt Bruttoprämie. Mit \(\Gamma_x\) (absolute laufende Kosten), \(\beta_x\) (relativer Kostensatz), \(\alpha_x\) (Zillmer-Satz der Abschlusskosten) und \(\sigma_x\) (Sicherheitszuschlag) gilt:

$$ B_x = \frac{P_x + \Gamma_x}{\,1 - (\beta_x + \sigma_x) - \dfrac{\alpha_x}{12\,\ddot{a}_x}\,} $$

Da in der Krankenversicherung keine Versicherungssteuer erhoben wird, lässt sich aus der Bruttoprämie direkt die Zahlprämie ableiten.

Weil die Prämie konstant ist, der Pflegebedarf aber mit dem Alter stark steigt, zahlen jüngere Versicherte zunächst mehr als ihr momentanes Risiko erfordert. Dieser Überschuss bildet die Alterungsrückstellung \({}_tV_x\). Sie ergibt sich aus der Erweiterung des Äquivalenzprinzips: Die Identität zwischen Prämien- und Leistungsbarwert bleibt auch in Zukunft erhalten.

$$ P_x \cdot \ddot{a}_{x+t} = A_{x+t} - {}_{t}V_x \quad\Longleftrightarrow\quad {}_{t}V_x = A_{x+t} - P_x \cdot \ddot{a}_{x+t} $$

Zu Beginn ist die Alterungsrückstellung null, sie wächst über die Laufzeit an und nimmt im hohen Alter wieder ab, bis sie am mathematischen Höchstalter erneut null erreicht. Wichtig: Es handelt sich um ein rein rechnerisches Konzept – das Unternehmen entnimmt kein konkretes Geld aus dieser Rückstellung. Nur so bleibt das Äquivalenzprinzip gewahrt.

Am deutlichsten zeigt sich das Zusammenspiel aller Annahmen in der Zuführung zur Alterungsrückstellung. Hier fließen zusammen: die Nettoprämie und ihre Aufteilung in aktuelles Risiko und Sparanteil, der erwartete Zinsertrag aus der Anlage der Rückstellung sowie der Vererbungsanteil, der sich durch das Ausscheiden anderer Versicherter (Storno, Sterblichkeit) ergibt. Die Abschlusskosten werden nicht sofort, sondern über die erwartete Laufzeit getilgt – dieses Zillmer-Verfahren behandelt sie wie einen Kredit gegenüber dem Versichertenkollektiv. Alle Annahmen – Zins, Ausscheidewahrscheinlichkeit und Prämienstruktur – fließen so in das Ergebnis ein und müssen regelmäßig mit der Realität abgeglichen werden.

Jede versicherungsmathematische Kalkulation beruht auf Annahmen – über Sterblichkeit, Storno, Pflegehäufigkeit, Kosten und Zins. Die PKV ist „auf Lebenszeit" kalkuliert (Art der Lebensversicherung): Der Versicherer verzichtet auf das ordentliche Kündigungsrecht gegenüber dem Kunden. Das ist zentral für die lebenslange Absicherung.

Doch die Realität ändert sich: Pflegezeiten steigen, die Lebenserwartung nimmt zu, sinkende Kapitalzinsen senken die Erträge auf Alterungsrückstellungen (der Sparanteil muss steigen), und Verwaltungskosten wachsen durch Inflation. Damit das Äquivalenzprinzip weiter gilt, müssen diese Entwicklungen regelmäßig überprüft und in Beitragsanpassungen berücksichtigt werden. Ohne dieses Ventil müsste der Anfangsbeitrag deutlich höher sein – oder das Leistungsversprechen wäre nicht nachhaltig.

Rechtlich ist das eng geführt. Nach § 155 VAG dürfen Prämienänderungen nur wirksam werden, wenn eine dauerhafte Veränderung einer maßgeblichen Rechnungsgrundlage nachgewiesen wird. Die auslösenden Faktoren beruhen auf dem linearen Trend der letzten drei Jahre in den Größen Sterblichkeit und Kopfschäden (konkret den Pflegetagen je Kopf). Nur diese Kenngrößen dürfen eine Anpassung auslösen, da sie außerhalb des Einflussbereichs des Unternehmens liegen. Kommt es zu einer Anpassung, werden alle Annahmen aktualisiert; ein unabhängiger Treuhänder prüft und stimmt zu, bevor sie wirksam wird. Bei einer Anpassung im Alter \(x+t\) werden bereits gebildete Alterungsrückstellungen \({}_tV_x^{\text{alt}}\) und gegebenenfalls Mittel aus der RfB (\(U^{\text{RfB}}\)) genutzt, um den neuen Leistungsbarwert zu reduzieren:

$$ P^{\text{neu}}_{x|t} = \frac{A^{\text{neu}}_{x+t} - \bigl({}_tV_x^{\text{alt}} + U^{\text{RfB}}\bigr)}{\ddot{a}^{\text{neu}}_{x+t}} $$

Die Krankenversicherungsaufsichtsverordnung (KVAV) schreibt konkrete Methoden vor und verlangt, dass alle Rechnungsgrundlagen vorsichtig gewählt sind. Entstehende Überschüsse werden größtenteils den Versicherten gutgeschrieben: über die Direktgutschrift (90 % des Überzinses gehen direkt an den Vertrag) und über die Rückstellung für Beitragsrückerstattung (RfB), in die mindestens 80 % fließen. Die Mittel der RfB gehören dem Kollektiv der Versicherten und dürfen nur für klar definierte Zwecke verwendet werden – zur Beitragsentlastung, für Rückerstattungen oder zur Limitierung zukünftiger Beitragsanpassungen. Sie bildet damit einen Puffer zwischen Annahmen und Realität und trägt wesentlich zur Stabilität der Prämien bei.

Versicherungsmathematik bedeutet, Daten zu strukturieren, Risiken zu bewerten und Finanzierbarkeit sicherzustellen. Von den Pflegetagen bis zur Prämie hilft jedes Modell, Entscheidungen messbar und nachvollziehbar zu machen. Doch Berechnung allein reicht nicht: Mathematik wird erst dann wirksam, wenn sie in Systeme und Prozesse übergeht, die komplexe Zusammenhänge abbilden, steuern und erklären können.

Genau diese Brücke schlägt das versicherungsmathematische System Hyron. Es bildet die gesamte Struktur einer Krankenversicherung ab – von Vertragsdaten und Rückstellungen über die Prämienberechnung bis hin zu Beitragsanpassungen und Simulationen. Hyron kann Bestände auf individueller Ebene fortschreiben, Leistungsbarwerte und Nettoprämien neu berechnen und prüfen, wie sich geänderte Annahmen auf Rückstellungen und Beiträge auswirken. Jede Berechnung folgt den Vorgaben von VAG und KVAV, sodass nachvollziehbar bleibt, wie Werte entstehen und warum sie sich verändern. So wird sichtbar, wie Daten, Formeln und Entscheidungen ineinandergreifen, um die Stabilität und Fairness des Versicherungssystems langfristig zu sichern.

Grundlage: Vortrag „Versicherungsmathematik in der Krankenversicherung – von Daten zum Beitrag" (Anne Junglas, Deutsche Familienversicherung AG; Sebastian Becker, Hyrance AG). Zahlen zu Finanzierungslücke und Pflegekosten: pkv.de und pflege.de. Rechtsgrundlagen: § 155 VAG, Krankenversicherungsaufsichtsverordnung (KVAV), Pflegestärkungsgesetz II. Dieser Beitrag dient der fachlichen Information und ist keine Versicherungs- oder Rechtsberatung.